poniedziałek, 19 listopada 2012
Procesy losowe
Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna,
której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy
pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi
płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana
liczba, wartość waluty wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (ilość rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego którego wartości są zdarzeniami losowymi z funkcją która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.
Często za zbiór przyjmuje się przedział lub zbiór liczb naturalnych, za zbiór liczb rzeczywistych, a za rodzinę , to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami.
Ciekawostka.
Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W 1827 roku szkocki biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle, a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (ilość rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego którego wartości są zdarzeniami losowymi z funkcją która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.
Definicja
Niech będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów, będzie przestrzenią probabilistyczną oraz będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych- ,
Często za zbiór przyjmuje się przedział lub zbiór liczb naturalnych, za zbiór liczb rzeczywistych, a za rodzinę , to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami.
Ciekawostka.
Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W 1827 roku szkocki biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle, a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.
Zmienne losowe
Pojęcie zmiennej losowej.
Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa (związana z pewnym doświadczeniem), to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dając ą się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).
Definicja: Do określenia zmiennej losowej potrzebna jest przestrzeń probabilistyczna. Załóżmy więc, że dana jest dowolna przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P), a więc zmienna losową nazywamy dowolna funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, o własnościach ze zbioru liczb rzeczywistych i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.
Zmienna losowa X dana jest zbiorem:
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.: S, T, X, Y, Z, ich własności zaś odpowiednimi małymi literami: s, t, x, y, z, często ze wskaźnikami.
Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.
Natomiast jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.
Własności dystrybuanty F zmiennej X są następujące:
Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja podana wzorem:
,
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia następujące warunki:
,
Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa (związana z pewnym doświadczeniem), to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dając ą się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).
Definicja: Do określenia zmiennej losowej potrzebna jest przestrzeń probabilistyczna. Załóżmy więc, że dana jest dowolna przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P), a więc zmienna losową nazywamy dowolna funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, o własnościach ze zbioru liczb rzeczywistych i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.
Zmienna losowa X dana jest zbiorem:
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.: S, T, X, Y, Z, ich własności zaś odpowiednimi małymi literami: s, t, x, y, z, często ze wskaźnikami.
Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.
Natomiast jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.
Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją określoną na całym zbiorze i jest dana wzorem:Własności dystrybuanty F zmiennej X są następujące:
- , dla każdego
- jest funkcją niemalejącą,
- jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą, czyli dla każdego
- oraz
Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja podana wzorem:
,
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia następujące warunki:
,
Subskrybuj:
Posty (Atom)