Metody numeryczne i probabilstyczne

poniedziałek, 19 listopada 2012

Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych. Innymi słowy pewnej wielkości (jakiemuś człowiekowi, liczbie, chwili czasu, punktowi płaszczyzny) przypisane jest zdarzenie losowe (wzrost, losowo wybrana liczba, wartość waluty wg. notowań giełdowych, liczba rzeczywista).
Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (ilość rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego którego wartości są zdarzeniami losowymi z funkcją która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).
W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Definicja

Niech $T$ będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów, $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz $(E, \mathfrak{M})$ będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych

$X=(X_t)_{t\in T}$ ,

to znaczy rodzinę funkcji $\mathcal{A}/\mathfrak{M}$ - mierzalnych nazywamy procesem stochastycznym. Przestrzeń $(E, \mathfrak{M})$ nazywamy przestrzenią fazową albo przestrzenią stanów procesu $X$ .
Często za zbiór $T$ przyjmuje się przedział $[0,\infty)$ lub zbiór liczb naturalnych, za $E$ zbiór liczb rzeczywistych, a za $\mathfrak{M}$ rodzinę $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ , to znaczy rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.
Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami.

Ciekawostka.
Ruchy Browna − chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu.
W 1827 roku szkocki biolog Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, iż znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu.
Ruchy Browna obserwuje się dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząstek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Cząsteczki poruszają się ciągle, a ich ruch nie słabnie. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.

Zmienne losowe

Pojęcie zmiennej losowej.
Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa (związana z pewnym doświadczeniem), to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dając ą się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).
Definicja: Do określenia zmiennej losowej potrzebna jest przestrzeń probabilistyczna. Załóżmy więc, że dana jest dowolna przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P), a więc zmienna losową nazywamy dowolna funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, o własnościach ze zbioru liczb rzeczywistych i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.
Zmienna losowa X dana jest zbiorem:
$MathImage$
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.: S, T, X, Y, Z, ich własności zaś odpowiednimi małymi literami: s, t, x, y, z, często ze wskaźnikami.
Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.
Natomiast jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.

Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją określoną na całym zbiorze $MathImage$ i jest dana wzorem:
$MathImage$
Własności dystrybuanty F zmiennej X są następujące:

$MathImage$ , dla każdego $MathImage$
$MathImage$ jest funkcją niemalejącą,
$MathImage$ jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą, czyli $MathImage$ dla każdego $MathImage$
$MathImage$ oraz $MathImage$

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X jest to funkcja podana wzorem:
$MathImage$
Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja podana wzorem:
$MathImage$ ,
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia następujące warunki: $MathImage$
$MathImage$ ,

piątek, 2 listopada 2012

TESTY - Procesy stochastyczne i zastosowania metod probabilistycznych w informatyce

wtorek, 30 października 2012

KOMBINATORYKA

Metody probabilistyczne

METODY PROBABILISTYCZNE

Metoda probabilistyczna polega na zastosowaniu rachunku prawdopodobieństwa do rozwiązywania problemów kombinatorycznych.

Zawartość tematu:

Statystyka opisowa:
- cechy i ich skale
- dane surowe i skumulowane
- prezentacja graficzna
- miary tendencji centralnej i rozrzutu
Przestrzeń probabilistyczna:
- aksjomaty
- własności
- schemat klasyczny
- prawdopodobieństwo geometryczne
- miara
Prawdopodobieństwo warunkowe:
- prawdopodobieństwo całkowite
- wzór Bayesa
- niezależność zdarzeń
Zmienne losowe:
- rozkłady dyskretne i ciągłe oraz ich interpretacja
- dystrybuanta
Parametry rozkładu:
- nadzieja matematyczna
- wariacja
- momenty
- nierówność Czebyszewa
- prawa wielkich liczb
Podstawowe rozkłady:
- dwupunktowy
- dwumianowy
- Poissona
- geometryczny
- wykładniczy
Centralne twierdzenie graniczne:
- rozkład normalny
- standaryzacja
Łańcuchy Markowa:
- spacer losowy
- powracanie, okresowość, ergodyczność
Wnioskowanie statystyczne:
- próbka prosta
- statystyka i estymator
- estymacja parametryczna i nieparametryczna
Estymacja punktowa:
- metoda największej wiarygodności
Testowanie hipotez i przedziały ufności:
- przedziały ufności dla średniej
- metodologia testu statystycznego, p-value
Metody komputerowe w statystyce:
- liczby pseudolosowe
- bootstrap
- estymacja jądrowa gęstości

Polecana literatura:

L. Gajek, M. Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne dla studentów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998.

J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla prawie każdego, Script, Warszawa 2006.

J. Jóźwiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 2006.

J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.

W. Krysicki i współautorzy, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część I, II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004.

J. Ombach, Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo – Maple, Wydawnictwo UJ, Kraków 2000.

poniedziałek, 15 października 2012