Zmienne losowe

Pojęcie zmiennej losowej.
Intuicyjne można powiedzieć, że zmienna losowa (związana z pewnym doświadczeniem), to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od przypadku (nie dając ą się ustalić przez przeprowadzeniem doświadczenia).
Definicja: Do określenia zmiennej losowej potrzebna jest przestrzeń probabilistyczna. Załóżmy więc, że dana jest dowolna przestrzeń probabilistyczna (E, Z, P), a więc zmienna losową nazywamy dowolna funkcję X, określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E, o własnościach ze zbioru liczb rzeczywistych i mierzalną względem ciała zdarzeń Z.
Zmienna losowa X dana jest zbiorem:

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.: S, T, X, Y, Z, ich własności zaś odpowiednimi małymi literami: s, t, x, y, z, często ze wskaźnikami.
Jeżeli zbiór wartości, jakie przyjmuje funkcja X, jest zbiorem policzalnym, wtedy zmienną losową nazywamy zmienną losową dyskretną lub skokową.
Natomiast jeśli funkcja X przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego, nazywamy ją zmienną losową ciągłą.

Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności

Dystrybuanta zmiennej losowej X jest funkcją określoną na całym zbiorze i jest dana wzorem:

Własności dystrybuanty F zmiennej X są następujące:

1. , dla każdego
2. jest funkcją niemalejącą,
3. jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą, czyli dla każdego
4. oraz

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej X jest to funkcja podana wzorem:

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja podana wzorem:
,
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X jest to funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych i spełnia następujące warunki:
,